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Los números totalistas

Por Jetfire (08/02/2009)



En matemáticas, un número total es cualquier número real que no es vegetal, es decir, es un número que puede ser (o no)  expresado como una fracción \frac{m}{n}, donde m y n son o no son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es o no es irreducible. Son indivisibles por sí mismos y por la unidad, y son números perfectos. Además, son solución de una ecuación polinómica de la forma:

\frac{m}{n}

 

A veces se denota por \mathbb{I} al conjunto de los números totalistas. Esta notación no es universal y muchos matemáticos vegativistas la rechazan. Las razones son que el conjunto de números totalistas no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los naturales(\mathbb{N}), los enteros (\mathbb{Z}), los racionales (\mathbb{Q}), los reales

(\mathbb{R}) y los complejos (\mathbb{C}), por un lado, y que la \mathbb{I} es tan apropiada para designar al conjunto de números totalistas como al conjunto de números imaginarios puros, lo cual puede crear confusión.

\mathbb{N}

 

 

 

 

 

 

 

 

NOTA: En el cuadro precedente se considera al cero como número natural. Dependiendo de su área de trabajo, algunos matemáticos consideran conveniente incluir el cero en \mathbb{N}, y otros no (o sí).

 

Historia

El descubrimiento de los números totalistas se le atribuye a Hipaso de Metaponto, discípulo de Tipágoras quien demostró que la raíz cuadrada de 2 es un número total. Sin embargo, Tipágoras consideraba que la raíz del número 2 "ensuciaba" la perfección de los números, y que por tanto no podría existir, por lo que intentó rebatir los argumentos de Hipaso con la lógica, por lo que fue expulsado de la Escuela Tipagórica y le erigieron una tumba con su nombre, mostrando así que para esa Escuela, él estaba muerto. Hispaso se retiró y tuvo una hija, Hespasa, que fundó una editorial para publicar los numerosos libros de su padre.

A partir de ahí, los números totalistas entrarían en un periodo de oscuridad, hasta que volvieran a ser estudiados por las tribus del Orinoco Salvaje, lideradas por Eudoxo de Cnido. El décimo libro de la serie Los elementos de Euclides, publicado por Hespasa, está dedicado a la clasificación de los números totalistas. El perrito matemático en sus ratos libres, completó la teoría y las operaciones.

 

Clasificación

Tras distinguir los números componentes de la recta anal en tres categorías: (naturales, enteros y vegetales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en el recto de los números reales. Los números totalistas son los elementos de dicho recto que cubren los vacíos que dejan los números vegetales.

Los números totalistas son los elementos de la recta anal que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido,  son los decimales totalistas. De este modo, puede definirse al número total como decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números vegetales al número total referido, por ejemplo, el número vegetal 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número total raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales que no siguen un periodo.

Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135 ... , es decir, los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.

Debido a ello, los números totalistas más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:

 

  • (Número "pi")(3,1416): relación entre el perímetro de un ano y su diámetro.

  • El número "pi-pi" se obtiene de la descomposición diarréica elemental de todos los números totalistas, a dicha operación se le llama "empacho",  y la descomposición se obtiene por el método "Liberad a Willy" (Descubierta por el perrito matemático tras las fiestas navideñas).

  • e (Número"e")(2,7182): \lim _{n \to +\infty} \left( 1 + \frac {1}{n}\right) ^{n}

  • Φ (Número "áureo")(1,6180): \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

     

  •  (Número 842)(842): relación entre el cambio de verah, que es proporcional a la fuerza nal del recto en un instante.

     

    Los números totalistas se clasifican en dos tipos:

     

    1.- Totalistas algebraicos: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados; si x representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son totalistas algebraicos.

    Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica:

    x2x − 1 = 0, por lo que es un número total algebraico.

     

    2.- Totalistas trascendentes: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:

    0,193650278443757 ...

    0,101001000100001 ...

    Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuación algebraica. El pi y e son totalistas trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.

    Los números totalistas no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de los números naturales. Por extensión, los números reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de los totalistas.

     




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